MAST90051: Mathematics of Risk - Assignment 1 Overview

任务概述

这次作业涉及风险数学的关键概念，包括随机损失分布、风险价值（Value at Risk, VaR）和条件风险价值（Expected Shortfall, ES）的计算与分析。学生需要解决以下问题并提交解决方案，具体要求如下：

提交要求

1. 提交截止时间: 2024年9月13日，晚上11:59。
2. 提交格式:
   • 解答必须提交至Canvas/Gradescope。
   • 请将所有解答写在空白的A4纸上，必要时可以自行排版。PDF格式提交，扫描或拍照后上传。确保扫描件清晰、顺序正确，并裁剪到A4边界。
   • 页面上方需标注姓名、学生ID、课程名称和代码。
3. 提交内容: 尽量简洁，不超过15页。每个问题都应尽可能地给出解答过程和推理，以获得满分。数据表无需包含，合理的数据摘要即可。

主要问题概述

问题1: 随机损失分布的尾部估计与VaR和ES计算

1. 问题描述:

   • 给定一个具有绝对连续分布函数 ( F ) 和密度函数 ( f(x) = 4x^{-4}\ln x ) 的随机损失 ( L )，计算分布尾部 ( F(x) )，并找到在四个置信水平下的 ( VaR_\alpha(F) ) 和 ( ES_\alpha(F) )（四位小数）。之后，计算 ( ES_\alpha(L)/VaR_\alpha(L) ) 的比值，并总结分析结果。

2. 解题步骤:

   • 计算累积分布函数 ( F(x) )：通过积分 ( F(x)=\int_{1.5}^{x} 4t^{-4}\ln t dt ) 来求解。
   • 找到 ( VaR_\alpha(F) )：通过解方程 ( F(VaR_\alpha(F)) = 1-\alpha ) 来找到 ( VaR_\alpha ) 的值。
   • 计算 ( ES_\alpha(F) )：通过积分公式 ( ES_\alpha(F) = \frac{1}{\alpha} \int_{\alpha}^{1} VaR_{u}(F) du ) 来求解。
   • 计算比值 ( ES_\alpha(L)/VaR_\alpha(L) )，并用表格展示结果。

3. 结果展示（表格格式）:

4. 注释: 通过表格中的值对 ( VaR ) 和 ( ES ) 的比值进行分析，观察其中的模式或趋势。

问题2: 模型假设的影响

1. 问题描述:

   • 假设真实损失分布 ( F_L ) 与假设的分布 ( F ) 之间的差异不超过 0.007，即 ( |F_L(x)-F(x)| \leq 0.007 )，求出在不同置信水平下 ( VaR_\alpha(F_L) ) 的可能范围，并评论这一假设下的结果。

2. 解题步骤:

   • 对每个置信水平 ( \alpha )，通过 ( F(x) - 0.007 \leq F_L(x) \leq F(x) + 0.007 ) 来确定 ( F_L ) 的范围。
   • 计算 ( VaR_\alpha(F_L) ) 的范围。
   • 讨论模型假设对结果的不确定性影响。

问题3: 投资组合的风险因子和损失运算符

1. 问题描述:

   • 针对一个由某位MSc毕业生持有的投资组合，分析合适的风险因子，并在给定的时间段内计算损失值和线性化的损失运算符。学生需要评估这些因子的影响，并计算最大的误差差异。

2. 解题步骤:

   • 建立风险因子的模型，包括股票价格、汇率和市场波动等因子。
   • 计算损失值 ( L_{t+1} ) 和线性化的损失运算符 ( l^\Delta(t) )，并计算在给定时间段内的最大差异。
   • 使用历史模拟法生成模拟损失样本，并比较不同估算方法的结果。

评分标准

1. 问题1的评分标准: 5分

   • 正确计算VaR和ES，展示详细的推导过程并进行合理的分析。

2. 问题2的评分标准: 3分

   • 说明模型不确定性如何影响VaR的估计，并提供清晰的解释。

3. 问题3的评分标准: 12分

   • 完整分析投资组合的风险因子及其损失值，使用合理的方法进行损失估算和比较。

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